Salve,
il suo è un dominio di terzo livello, quindi è normale che appaia il NomeStito/utente più il nome dell'hosting (ovvero, lightprimeape.altervista.org/). Pertanto, essendo un dominio di terzo livello non può eliminare altervista.org.
Può però scegliere di acquistare un dominio di secondo livello da Bacheca -> Domini (del tipo NomeSito.tld), associato a quello attuale di terzo livello. Potrà quindi scegliere anche un nome differente dal quello del dominio di terzo livello.
Se decide di procedere con l'acquisto del dominio, nel suo caso, visto che il sito non è in Wordpress, prosegua la procedura cliccando "Proseguo con Hosting" per mantere l'account di tipo "Hosting con file manager" (il tipo che sta usando).
Per sicurezza, prima dell'eventuale acquisto del dominio, suggerisco di farsi comunque una copia in locale di tutto il sito (spazio più database).