Più che sito hackerato, mi pare un problema di HTTPS: visitando il sito in "http", appare come te lo ricordavi tu?

Purtroppo non conosco SPIP, volendo posso informarmi, ma ha una pagina di amministrazione? Funziona?
Forse dovresti solo configurare di usare tutti gli URL con HTTPS: vedo ad esempio l'immagine del satellite inclusa in HTTP:
Codice HTML:
<div class="widget"><img class="align-center img-" title="" src="http://frequencyplansatellites.altervista.org/alterpages/measatf-ipstar.png#gallery" alt="" /></div>
Una cosa che però mi confonde è che dal codice, pare tu abbia dei tag del vecchio AlterPages:
Codice HTML:
<link href="https://it.altervista.org/css/alterpages/layout.css" rel="stylesheet" type="text/css" media="screen" />
...
<script type="text/javascript" src="https://it.altervista.org/alterpages/common.php"></script>
...
<script src="https://it.altervista.org/alterpages/common.php"></script>
Non mi è chiarissimo quindi quale configurazione hai attualmente.
Ciao!