[Scuola] Tecniche di fattorizzazzione di un polinomio

[miki92]

Buonasera,
oggi vi chiedo di aiutarmi in matematica (). Sono stato assente una settimana e a scuola hanno studiato le Tecniche di fattorizzazzione di un polinomio ma io non sono riuscite a capirle da solo e dopodomani ho un compito e domani una semplice interrogazione...qualcuno saprebbe aiutarmi spiegandomi un po' come si risolvono?

[Ospite]

Sono per caso quelle del tipo...quadrato di un binomio, differenza di due quadrati, differenza di due cubi, somma e prodotto...?


Ciao!

[miki92]

Si sono quelle me le sapresti spiegare un po'?

[Ospite]

Più che da spiegare quelle sono formule da studiare a memoria e capire.
Apri il libro, mettici un'pò di testa e se non capisci qualcosa chiedi qui.
Ciao!

[miki92]

Già fatto non ho capito proprio come si mettono in pratica, vedi l'anno precedente il programma non è stato completato ma gli argomenti sono stati comunque aggiunti e firmati da tre miei amici. Quest'anno il professore ci ha messo alla prova e con esito negativo abbiamo ripreso il programma di prima...poi sono stato assente nella settimana di rottura...e ora non so proprio come fare...non riesco proprio a capire come si risolvono anche i più semplici calcoli con queste maledettissime tecniche...

Allora, siccome le abbiamo appena fatte, posso dirti quel qualcosina che mi ricordo:

QUADRATO DI UN BINOMIO

Formula generale: (a+b)² = a²+b²+2ab

ovvero, + in pratica, se tu trovi in un polinomio, ad esempio, qualcosa del tipo:

(xy+2y)²

già sai che deve essere risolta con il quadrato del primo + il quadrato del secondo più il doppio del primo per il secondo.

Ovvero:

x²y² (quadrato del primo) + 4y² (quadrato del secondo) + 4xy² (doppio del primo per il secondo)

e allo stesso modo si applicano tutte le altre formule, che trovi nel tuo libro di algebra (non ce l'ho qui a portata di mano) :)

Io ti dico che non c'è nemmeno bisogno di ricordare a memoria; per esempio:
(a+b)²= (a+b)*(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²
stesso procedimento per potenze maggiori.

Ciao

Io ti dico che non c'è nemmeno bisogno di ricordare a memoria; per esempio:
(a+b)²= (a+b)*(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²
stesso procedimento per potenze maggiori.

Ciao

Sì vabbè deriva sempre da un calcolo, ma saperle a memoria semplifica la vita.
Tutti i prodotti notevoli derivano dallo svolgimento delle operazioni, è ovvio.

ad esempio, chessò:

(a+b)(a-b) = a²-b²

perché?
semplice:

(a+b)(a-b) = a²-ab+ab-b² = a²-b²

[miki92]

Cubo di un binomio/trinomio sapete dirmi com'è?

[dapeco]

(a+b)^3 e (a+b+c)^3

Cubo di un binomio/trinomio sapete dirmi com'è?

Sul binomio sì, sul trinomio non ti so aiutare.
CUBO DEL BINOMIO: (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
dovrebbe essere corretto, sì

[miki92]

Si se non sbaglio dovrebbe essere proprio cosi.
Adesso sulle tecniche di fattorizzazzione di un polinomio?

Adesso sulle tecniche di fattorizzazzione di un polinomio?

Ehm... eh?

Che sono?

[miki92]

Beh credo che ancora non le hai studiate...il raggruppamento totale o parziale e non so che...

intendi questo: x^2 + x -20 = (x+5)(x-4) ??
Se è così, è facile. Devi trovare due numeri che sommati ti diano il coefficiente della x e che moltiplicati ti diano l'ultimo valore.
infatti, 5-4 = 1 e 5 *(-4)= -20
x^2 +1x -20

poi c'è anche Ruffini, se è questo che devi imparare, dimmi :)

Edit: Non era quello
ho trovato sul libro il raccoglimento parziale a fattare comune e quello totale
Si fa così per quello totale:
2a^3 -4a +8 = 2(a^3 -2a + 4) devi trovare un numero per poter dividere gli altri, vale anche per le "lettere".
un altro esempio:
a^2 + a + a^3 = a(a + 1 + a^2)
o ancora:
16a^2b + 4b + 8ab = 4b(4a^2 + 1 + 2a)

Per il raccoglimento parziale:
15ax - 18ay + 40bx - 48by = 3a(5x - 6y) + 8b(5x - 6y)
==> (3a + 8b)(5x - 6y)
per poter fare questo raccogliemnto la parte in blu deve essere uguale

Edit: Non era quello
ho trovato sul libro il raccoglimento parziale a fattare comune e quello totale
Si fa così per quello totale:
2a^3 -4a +8 = 2(a^3 -2a + 4) devi trovare un numero per poter dividere gli altri, vale anche per le "lettere".
un altro esempio:
a^2 + a + a^3 = a(a + 1 + a^2)
o ancora:
16a^2b + 4b + 8ab = 4b(4a^2 + 1 + 2a)

Per il raccoglimento parziale:
15ax - 18ay + 40bx - 48by = 3a(5x - 6y) + 8b(5x - 6y)
==> (3a + 8b)(5x - 6y)
per poter fare questo raccogliemnto la parte in blu deve essere uguale

Aaaaaaaaaaaaaaaahhhh.... era quello?
No perché leggendo "tecniche di fattorizzazione di un polinomio" (che paroloni...) tutto potevo aver immaginato fuorché quello...

[Ospite]

(a+b)^3 e (a+b+c)^3

eh?

Sul binomio sì, sul trinomio non ti so aiutare.

Cubo di un trinomio:

(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3+ 3a^2(b + c) + 3b^2(a + c) + 3c^2(a + b) + 6abc

Trinomio particolare di secondo grado (o somma e prodotto):

x^2 + 5x + 6

Devi trovare due numeri la cui somma sia 5 (il termine con la x alla prima) e il cui prodotto sia 6 (il termine senza la parte letterale).

S= 5
P= 6

= 2 e 3 perchè (2+3 = 5) e (2*3 = 6).

Quindi il risultato è (x+3)(x+2).

Poi c'è la differenza di due quadrati:

(a^2-b^2) = (a-b)(a+b)

Attento a non fare un errore comune: se c'è tra i due termini del polinomio c'è una somma non puoi applicare questa tecnica.

C'è altro che non riesci a capire?

Ciao!


P.S: Come si scrivono i numeri in notazione esponenziale?

EDIT:

Aaaaaaaaaaaaaaaahhhh.... era quello?
No perché leggendo "tecniche di fattorizzazione di un polinomio" (che paroloni...) tutto potevo aver immaginato fuorché quello...

Il raccoglimento totale e parziale sempre una tecnica di scomposizione di un polinomio in fattori primi è

P.S: Come si scrivono i numeri in notazione esponenziale?

² si fa con ALT + 0178 mentre ³ si fa con ALT + 0179

Il raccoglimento totale e parziale sempre una tecnica di scomposizione di un polinomio in fattori primi è

Capit :)

per quanto riguarda l'elevazione a potenza dei polinomi guardati il triangolo di tartaglia

[dementialsite]

Provo a scriverti qui un mini-tutorial (forse alcune cose sono già dette, altre potrai tenerle buone in seguito): l'ordine è più o meno quello in cui devi cercare di eseguire le operazioni.

RACCOGLIMENTO TOTALE
Individua un "fattore comune" (letterale o numerico) sul polinomio. Isolalo, poi scrivi il resto del polinomio dividendo per quel termine.
Esempio: ax + ay + az = a (x + y + z)

RACCOGLIMENTO PARZIALE
Come il raccoglimento totale, ma funziona solo per una parte del polinomio. Spesso poi un ulteriore polinomio può diventare "fattore comune" per un raccoglimento totale.
Esempio: ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (a + b)(x + y)

PRODOTTI NOTEVOLI (naturalmente queste si applicano anche quando gli esponenti sono multipli di quelli scritti...)
Differenza di quadrati: a² - b² = (a - b)(a + b)
Somma di quadrati: a² + b² non riducibile nei reali
Quadrato di binomio (1): a² + 2ab + b² = (a + b)²
Quadrato di binomio (2): a² - 2ab + b² = (a - b)²
Somma di cubi: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Differenza di cubi: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Somma di quarte potenze (o scomposizione irrazionale): a^4 + b^4 = (a² + radq(2)ab + b²)(a² - radq(2)ab + b²)
Binomio di Newton: somma(i=0..n; comb(n, i)* a^i * b^(n-i)) = (a + b)^n
Binomio di Ruffini (1): a^n - b^n = (a - b) * somma(i=0..n-1; a^i * b^(n-1-i))
Binomio di Ruffini (2): a^n + b^n = (a + b) * somma(i=0..n-1; (-1)^i * a^i * b^(n-1-i))
Falso quadrato di potenze pari: a^4 + a²b² + b^4 = a^4 + a²b² + b^4 + a²b² - a²b² = (a² + b²)² - a²b² = (a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

TRINOMIO NOTEVOLE ax² + bx + c
Risolvi l'equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 e siano x1 e x2 le sue soluzioni.
- se esistono distinte, la scomposizione del polinomio è a (x - x1) (x - x2)
- se esistono coincidenti, la scomposizione è a (x - x1)² (in teoria però questo caso non dovrebbe verificarsi se hai fatto bene la parte sopra)
- se non esistono, il polinomio non è riducibile nei reali.

TEOREMA DEL RESTO DI RUFFINI (solo polinomi a una variabile)
Quando non ti resta più niente da fare, prova ad individuare alcuni valori per i quali un polinomio si annulla (ovvero, sostituendo alla variabile e calcolando si ottiene 0). I "candidati" migliori sono le frazioni che hanno per numeratore un divisore del "termine noto" e per denominatore un divisore del coefficiente di grado massimo.
Se in un polinomio di grado n, trovi esattamente gli n zeri, allora sei a buon punto: la scomposizione è data dal prodotto di polinomi di primo grado del tipo (x - p), dove p è lo zero del polinomio. In caso contrario, ripeti più volte la divisione di Ruffini per trovare il risultato (che puoi riprovare magari a scomporre con le regole sopra...).

Stammi bene...

[miki92]

Grazie a tutti siete stati fantastici!!!