O rivedi il vincolo di non utilizzare il database, o... te ne crei a mano uno da solo.
Premesso che le motivazioni ed i vincoli li sai solo tu, è d'obbligo l'osservazione: vuoi ottenere la permanenza di alcuni dati (per la precisione, un numero di like), dove ciascun dato è associato ad una entità (foto) con una relazione 1 ad 1. Un esempio perfetto di database relazionale. Se il vincolo di non usare il database l'hai deciso tu, rivalutalo; se te l'ha imposto qualcuno, fagli notare che è un vincolo (inutilmente) restrittivo e discutetene.
Se proprio il database non può essere utilizzato, dovrai creartene uno rudimentale sporcandoti le mani con la gestione dei file, con la consapevolezza che difficilmente sarà efficiente o sicuro (e che crearlo non sarà né rapido né indolore...).
Un'idea di partenza è creare un file in cui, per ogni foto, memorizzi il numero di
like ricevuti (supponiamo una
entry per riga). La creazione di una nuova foto produce l'aggiunta di una riga, con valore iniziale 0; la cancellazione di una foto produce la cancellazione della relativa riga; l'aggiunta o rimozione di un
like comporta la modifica del valore alla riga interessata.
Senza dubbio utile: indicizzare il contenuto del file per renderne efficiente l'accesso, creare un meccanismo di lock per evitare
race conditions in caso di accessi simultanei, spezzare il contenuto del file in più sottofile per evitare consumo eccessivo di memoria (o, in alternativa, prevedere letture e scritture solo su porzioni del file con
fseek).
Naturalmente alternative
sporche e rapide non mancano, ad esempio creare una cartella in cui collocare un file per ogni foto, con all'interno il numero di like ricevuti da quel file, fregandosene del rischio di
race conditions ed altri problemi...
Riguardo all'uso della funzione
conta() in HTML non si può fare così. L'ideale sarebbe usare AJAX o AJAJ: cliccando sul bottone viene inviata una richiesta ad una pagina PHP del server, la quale registra il nuovo like. L'aternativa più semplice, ma non per questo da disdegnare, consiste nel rendere il pulsante di like come un form, il cui invio aziona l'aggiunta del like.