Input per memorizzare mail utente, mandata per mail

Vorrei creare un input in cui un utente scrive la sua mail e questa informazione mi venga inviata alla mia mail. Inoltre, vorrei che tale operazione venga effettuata nella stessa pagina. L'unica modifica che dovrebbe fare è che se l'utente ha inserito la mail, l'input per inserire la mail dovrebbe scomparire.
Il php e l'HTML vorrei metterl oquindi nella stessa pagina nel seguente modo

Codice PHP:

---

<?php
if(!isset($_POST['submit']))
{
?>

---

Codice HTML:

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        <FORM name=email action=# method=POST>
        <table class=inserimento cellpadding=0 cellspacing=0>
          <tr><td>
                <input class="connect" name="mail" type=mail placeholder="YOUR MAIL...">
          </td><td>
                <input class="bottoncino" type=image src="immagini/bottone.png" alt=submit>
          </td></tr>
        </table> 
        </FORM>

---

Codice PHP:

---

<?php
}
else
{
$mail=$_POST['mail'];
mail("mia_mail@gmail.com","e-mail",$mail);
}
?>

---

Problemi:
1. Non mi invia la mail (sembra quasi che non passi la mail inserita in php);
2. Al click del input image, ricarica la pagina e il form rimane.
Grazie per l'aiuto

Anzitutto usa le virgolette per delimitare i valori degli attributi HTML, comunque se il codice è solo quello la mail non verrà mai inviata in quanto nel modulo non c'è nessun campo di nome submit (nell'if viene solo controllata la presenza di un campo con questo nome). Potresti aggiungere un attributo name con valore submit per l'elemento input di classe bottoncino.

Sono d'accordo anche io che tutti i valori degli attributi debbano essere racchiusi da doppie virgolette. Per non visualizzare il form dopo che è stata inviata l'email devi semplicemente unire i due codici (php e html) così se l'if risulta falsa prosegue con l'invio dell'email e terminando il codice php restituisce pagina bianca (a meno ché il browser non conservi quella pagina in cache), se non crei un attributo name per l'elemento input il browser non lo invia e php non lo riceve, siccome utilizzi il type="image" e non puoi utilizzare il type="submit" devi solo creare un name="diverso_da_submit" e modificare

Codice PHP:

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<?php
if(!isset($_POST['submit']))
{
?>

---

in

Codice PHP:

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<?php
if(!isset($_POST['diverso_da_submit']))
{
?>

---

Oppure esempio 2.

Codice PHP:

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<?php
if(!isset($_POST['mail']))
{
?>

---

Senza aggiungere nessun name